Höchste Zeit, unsern Kurs zu ändern

This is the continuation of the last post. First I want to prove a couple of algebraic results that were glossed over last time.

Proposition 1 Noetherian value ring is a DVR.

Proof: By the above correspondence and Noetherianity there is an minimal element $l$ of the value group which is $> 0$. Take an arbitrary positive element $k$ of the value group and consider $k-1$, $k-2$, \ldots. Some $k-n$ must be $l$, otherwise $l$ is not minimal, that gives an isomorphism with ${\mathbb Z}$. ☐

Lemma 2 (Atiyah-MacDonald, Theorem~5.21) Let ${\mathcal O} \subset K$ be an integral local ring. Then there exists a valuation ring that dominates it. In fact, it is the maximal local ring that contains ${\mathcal O}$ with respect to the domination order.

Here is the easier dimension 1 version of this statement.

Proposition 3 Let $R$ be a dimension 1 local ring with maximal ideal $\mathfrak{m}$. Take the integral closure of $R$ in $Q(R)$ and let $\mathfrak{p}$ be a maximal ideal in $R^{int}$ such that $\mathfrak{p} \cap R = m$. Then the localisation $R^{int}_p$ is a valuation ring.

Here are some notes on the valuative criterion of separatedness, annoyingly detailed at times.

Let $f: X \rightarrow Y$ be a morphism. Then by the universal property of the fibre product there is a diagonal morphism $\Delta: X \rightarrow X \times_Y X$ such that $p_1 \circ \Delta = p_2 \circ \Delta = id_X$.

The morphism $f$ is is called separated if $\Delta$ is a closed embedding.

Proposition 1 If $X, Y$ are affine, then $f$ is separated.

Proof: Let $X = \mathrm{Spec}{}S, Y = \mathrm{Spec}{}R$. Passing to the corresponding maps of rings we get $\Delta \circ p_1 = \Delta \circ p_2 = id$, $\Delta: S \otimes_R S \rightarrow S$. Then $\Delta$ is defined by $\Delta(s_1 \otimes s_2) = s_1 s_2$. This map is surjective, hence it corresponds to a closed embedding on $\mathrm{Spec}$-s. ☐

Example.  Let $X$ be the double affine line (over a field), i.e. $X = {\mathbb A}^1 \sqcup {\mathbb A}^1/\sim$ where $x \sim y \textrm{ iff } x \neq 0 \textrm{ or } y \neq 0$. There is a surjective map $p: X \rightarrow {\mathbb A}^1$. Let $p^{-1}(0)=\{a_1, a_2\}$. Let $f_1, f_2$ be two different sections of $p$, $f_1(0)=a_1, f_2(0)=a_2$. Let $\varphi$ be the morphism such that $p_1 \circ \varphi = f_1, p_2 \circ \varphi = f_2$ that exists by the universal property of the fibre product.

Then $\varphi$ coincides with $\Delta$ on ${\mathbb A}^1 \setminus \{0\}$. In particular, $\varphi.(A^1 \setminus \{0\}) \subset \Delta(X)$. Since $\varphi$ is continuous,

$\displaystyle \overline{\varphi(A^1 \setminus \{0\})} \subset \overline{\Delta(X)} $

but $\varphi(0) = (a_1, a_2) \in \overline{\varphi.(A^1 \setminus \{0\})}$ (again by continuity of $\varphi$) and $(a_1, a_2)$ is clearly not in $\Delta(X)$.

Here is a another take on the problem discussed in the previous post, this time in holomrophic context. We want to show that

A bijective holomorphic map $f: U \to V$ is invertible in the neigbourhoods of smooth points of $V$. 

Тут понадобилось понять, почему биективные морфизмы алгмногообразий бирегулярны. Точнее, бирегулярны они когда  бьют в нормальное многообразие. Да, ещё надо потребовать, чтобы морфизм сепарабельный был (в том смысле, что расширение полей рацфункций должно таковым быть), потому что Фробениус очевидный контрпример.

Многообразия над полем характеристики 0 можно нарезать на гладкие куски (by generic smoothness), которые будут нормальны. Поэтому биективный морфизм будет кусочно бирегулярен. Кстати, это утверждение тривиально следуствие элиминации кванторов в $\textrm{ACF}_p$. А какое будет "честное" алггеометрическое доказательство? Это следствие из Zariski's Main Theorem в одной из её форм. С ZMT в учебниках какая-то путаница. В Хартсхорне этим называется одно, в EGA и у Милна другое, в красной книге Мамфорда -- штук пять разных утверждений, причём эквивалентности доказаны не между всеми. Далее — разбор (engl.)

фан: бывают квазипроективные многообразия с неконечнопорождённым кольцом глобальных функций.

надо взять эллиптическую кривую (или большего рода), обратимый пучок $N$ степени 0 на ней (но такой, чтобы он ни в какой степени не давал тривиальный) и какой-нибудь обратимый пучок положительной степени $P$. Взять тотальное пространство их прямой суммы. Шутка в том, что тотальное пространство это относительный $\textrm{Spec}$ симметрического произведения, глобальные сечения у него будут суммы глобальных сечений всевозможных тензорных произведений $N^m \otimes P^k$. У $N \otimes \mathcal{O}$ нет сечений, кроме констант, однако у разных произведений $N^m \otimes P$ сечения не те же, что и у $P$. Получается, что каждая степень $N$ даёт новые генераторы.

больше примеров здесь.
по следам вопроса на МО: раз, а так же два.

Еще вкруг солнцев не вращались / В превыспренных странах миры, / Еще в хаосе сокрывались / Сии висящие шары

$\sum_{n=0}^\infty$

(Сохраняю сие сочинение Димы Самвоара)

Это фильм про московских студентов, не дураков каких-нибудь, все герои фильма пепельные блондины, словно братья-близнецы, как в старом фильме ужасов про детей-убийц из космоса. Фильм начинается с того, что показывают цветы, замерзающие под снегом довольно тугого хвойно-лиственного леса. Голос за кадром говорит, что это подснежники, цветы, которые цветут под снегом. Он говорит холодно-поэтично, дикторским глубоким голосом. Мы назовем его диктор №1.

Recall that a scheme is a locally ringed space ${(X, {\mathscr O}_x)}$, i.e. a topological space and a sheaf of rings, such that for any ${x \in X}$ the stalk ${{\mathscr O}_{x,X}}$ is a local ring. Recall that the stalk is ${\left.\varprojlim_{U \ni x}\right. {\mathscr O}_X(U)}$.

An affine scheme is the scheme one gets from a commutative ring ${A}$ as follows:

$\displaystyle  \begin{array}{l} X = \mathrm{Spec} A = \{\mathfrak{p} \subseteq A \textrm{, prime }\}\\ \quad \quad \quad \textrm{ with the base of topology } X_f = \{\mathfrak{p} \mid f \notin \mathfrak{p}\} \textrm{ where } f \in A\\ {\mathscr O}_X(X_f)=A_{(f)} \end{array} $

Let ${f: Y \rightarrow X}$ be a map of ringed spaces and ${{\mathscr F}}$ a sheaf on ${X}$. A pullback sheaf ${f^{-1}{\mathscr F}}$ is defined as follows:

$\displaystyle f^{-1}{\mathscr F}(U) = \varprojlim_{V \supseteq f(U)} {\mathscr F}(V) $

One has the natural map ${f^*: {\mathscr F} \rightarrow f^{-1}(F)}$. It is called inverse image map. One similarly defines ${f_*: Shv(X) \rightarrow Shv(Y)}$ and ${f^{-1}: \Gamma({\mathscr F},U) \rightarrow \Gamma(f_*({\mathscr F}),U)}$ for all ${U \subseteq X}$.

A morphism of locally ringed spaces is a morphism of underlying spaces ${f: Y \rightarrow X}$ and a morphism of sheaves ${f^*: f^{-1}{\mathscr O}_X \rightarrow {\mathscr O}_Y}$ (or ${f^*: {\mathscr O}_Y \rightarrow f_*{\mathscr O}_X}$), it is called local if the induced stalk morphisms map the maximal ideal to the maximal ideal.

Imaginaries after Poizat («Une théorie de Galois imaginaire».

• A theory is said to weakly eliminate imaginaries if every formula ${\varphi}$ has a minmal algebraically closed set of parameters (i.e. a set ${A=\mathrm{acl}(A)}$ such that ${\varphi(x,b) = \psi(x,a)}$ with ${a\in A}$).
• A theory is said to eliminate imaginaries if every formula ${\varphi}$ has the (definably closed) canonical set of parameters or canonical base, i.e. any automorphism preserves ${\varphi}$ set-wise iff it preserves ${B=\mathrm{dcl}(B)}$ point-wise.

Clearer approach to imaginaries.

• A theory ${T}$ is said to weakly eliminate imaginaries if for every ${a \in M^\mathrm{eq}}$ there exists ${b \in M^n}$ such that ${b \in \mathrm{acl}(a)}$, ${a \in \mathrm{dcl}(M)}$
• A theory ${T}$ is said to eliminate imaginaries if for every ${a \in M^\mathrm{eq}}$ there exists ${b \in M^n}$ such that ${b \in \mathrm{dcl}(a)}$, ${a \in \mathrm{dcl}(M)}$

The first is equivalent to the second (proved in Poizat).

Strong elimination of imaginaries is the weak elimination of imaginaries plus elimination of finite imaginaries, i.e. those such that the equivalence classes are finite.

Notable example of weak elimination:

(These are the notes I made for a talk at Junior Logic Seminar at Oxford.)

The category of affine schemes is the category opposite to the category of commutative rings.

Let $A$ be a ring. One associates to it a topological space called $\mathrm{Spec} A$:

$$\begin{array}{l}\mathrm{Spec} A = \{ \textrm{prime ideals of } A \} \textrm{ with closed sets } \\ \quad \quad \quad X_\mathfrak{a} = \{\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{a} \mid \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec} A\} \textrm{ for prime } \mathfrak{a}\in A\end{array}$$

Clearly, the points that correspond to maximal ideals are closed. If $\mathfrak{m} \subset A$ is a maximal ideal, $A/\mathfrak{m}$ is called the residue field of $\mathfrak{m}$. In classical algebraic geometry one deals with schemes over a field. Affine scheme over a field $ k$ is $ \mathrm{Spec} A$, where $ A=k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{a}$.

Proposition. Let $ A$ be the coordinate algebra of an affine scheme over $ k$. Let $ \mathrm{Max}_k\,A$ be the subset of maximal ideals with the residue field $ k$. Then $ \mathrm{Max}_k\,A\cong V(\mathfrak{a})=\{\bar{a}\in k^n \mid\forall f(\bar{x}) \in\mathfrak{a} f(\bar{a})=0\}$. Note that in general one cannot recover $ A$ from $ \mathrm{Spec} A$: consider $ k[x]/(x^2)$.

Theorem. Let $ K \supset k$ be a field extension, and $ K$ is finitely generated over $ k$ with generators $x_1, \ldots, x_n \in K$. Then $K$ is algebraic over $k$.