неконечнопорождённые кольца глобальных функций
фан: бывают квазипроективные многообразия с неконечнопорождённым кольцом глобальных функций.
надо взять эллиптическую кривую (или большего рода), обратимый пучок $N$ степени 0 на ней (но такой, чтобы он ни в какой степени не давал тривиальный) и какой-нибудь обратимый пучок положительной степени $P$. Взять тотальное пространство их прямой суммы. Шутка в том, что тотальное пространство это относительный $\textrm{Spec}$ симметрического произведения, глобальные сечения у него будут суммы глобальных сечений всевозможных тензорных произведений $N^m \otimes P^k$. У $N \otimes \mathcal{O}$ нет сечений, кроме констант, однако у разных произведений $N^m \otimes P$ сечения не те же, что и у $P$. Получается, что каждая степень $N$ даёт новые генераторы.
больше примеров здесь.
по следам вопроса на МО: раз, а так же два.