Höchste Zeit, unsern Kurs zu ändern

Here is a another take on the problem discussed in the previous post, this time in holomrophic context. We want to show that

A bijective holomorphic map $f: U \to V$ is invertible in the neigbourhoods of smooth points of $V$. 

Тут понадобилось понять, почему биективные морфизмы алгмногообразий бирегулярны. Точнее, бирегулярны они когда  бьют в нормальное многообразие. Да, ещё надо потребовать, чтобы морфизм сепарабельный был (в том смысле, что расширение полей рацфункций должно таковым быть), потому что Фробениус очевидный контрпример.

Многообразия над полем характеристики 0 можно нарезать на гладкие куски (by generic smoothness), которые будут нормальны. Поэтому биективный морфизм будет кусочно бирегулярен. Кстати, это утверждение тривиально следуствие элиминации кванторов в $\textrm{ACF}_p$. А какое будет "честное" алггеометрическое доказательство? Это следствие из Zariski's Main Theorem в одной из её форм. С ZMT в учебниках какая-то путаница. В Хартсхорне этим называется одно, в EGA и у Милна другое, в красной книге Мамфорда -- штук пять разных утверждений, причём эквивалентности доказаны не между всеми. Далее — разбор (engl.)

фан: бывают квазипроективные многообразия с неконечнопорождённым кольцом глобальных функций.

надо взять эллиптическую кривую (или большего рода), обратимый пучок $N$ степени 0 на ней (но такой, чтобы он ни в какой степени не давал тривиальный) и какой-нибудь обратимый пучок положительной степени $P$. Взять тотальное пространство их прямой суммы. Шутка в том, что тотальное пространство это относительный $\textrm{Spec}$ симметрического произведения, глобальные сечения у него будут суммы глобальных сечений всевозможных тензорных произведений $N^m \otimes P^k$. У $N \otimes \mathcal{O}$ нет сечений, кроме констант, однако у разных произведений $N^m \otimes P$ сечения не те же, что и у $P$. Получается, что каждая степень $N$ даёт новые генераторы.

больше примеров здесь.
по следам вопроса на МО: раз, а так же два.